K1 동등성에 대한 말츠니오티스 첫 번째 추측 증명

논문은 먼저 정확한 범주 E와 그 유도체 D E 사이의 K‑이론 관계를 고찰한다. 정확한 범주 E는 admissible monomorphisms를 cofibration, 동형을 weak equivalence로 하는 Waldhausen 범주 구조를 갖는다. 그 유계 복합체 범주 Cᵇ(E)는 quasi‑isomorphisms를 약동등류로 하고, levelwise admissible monomorphisms를 cofibration으로 하는 Waldhausen 범주이며, 실린더 구조를 자연스럽게 제공한다. 저자는 먼저 Gillet‑Waldhausen 정리의 차원 1 버전을 재구성하여 τ₁: K₁(E) → K₁(Cᵇ(E))가 동형임을 보인다. 이때 MT07에서 제시된 2‑그룹 D*W를 이용해 K₀와 K₁을 동시에 기술하는 프레젠테이션을 만든다. D*W는 Waldhausen 범주의 cofibration 시퀀스와 약동등류를 이용해 정의된 abelian 2‑group이며, 그 π₀와 π₁이 각각 K₀와 K₁에 대응한다. 다음 단계에서는 오른쪽 포인티드 유도체 D W를 도입한다. 실린더와 2‑out‑of‑3 공리를 만족하는 Waldhausen 범주 W에 대해, Cisinski와 Neeman이 제시한 삼각형 유도체 K‑이론의 가법성 결과를 활용한다. Garkusha가 정의한 파생 K‑이론 스펙트럼 DK(W)와 유도체 K‑이론 스펙트럼 K(D W) 사이에 자연적인 약동등류 DK(W) → K(D W) 가 존재함을 이용해, Kₙ(D W) ≅ πₙ₊₁|Diag Ner i Ho S·W| 로 표현한다. 핵심은 비교 사상 μₙ: Kₙ(W) → Kₙ(D W) 를 정의하고, n=0,1에 대해 이를 동형임을 증명하는 것이다. 이를 위해 저자는 S·W라는 simplicial Waldhausen 범주를 구성하고, 그 bisimplicial 집합 X = Ner w S·W와 Y = Ner i Ho S·W를 비교한다. 저 차원(0‑,1‑,2‑simplex)에서 X와 Y의 셀 구조를 상세히 분석하고, 특히 2‑simplex에서 발생하는 Postnikov‑invariant가 trivial함을 보인다. 이는 stable quadratic module 구조가 K₁을 완전히 결정한다는 사실과 일치한다. 결과적으로 μ₀와 μ₁이 각각 동형임을 얻으며, 이는 ρ₁ = μ₁ ∘ τ₁ 가 동형임을 의미한다. 따라서 정확한 범주 E의 K₁은 그 삼각형 유도체 D E와 정확히 일치한다. 마지막으로 저자는 포화 가정 대신 2‑out‑of‑3 축소 가정을 사용한 경우도 논의한다. 이 경우에도 동일한 증명 전략이 적용되며, 약동등류가 완전히 반영되는 상황을 확보한다. 논문은 또한 기존에 알려진 반례(TV04)에서 Kₙ(·)와 Kₙ(D·)가 일반적으로 동형이 아니지만, 차원 1에서는 위의 추가 가정(실린더와 포화) 하에 동형이 성립함을 강조한다. 전체적으로, 말츠니오티스가 제시한 K₁ 동등성 추측을 완전히 해결하고, Waldhausen‑derivator 프레임워크에서 K‑이론의 일관성을 확립한다.