삼각형 내 지배수 기반 공간 패턴 검정: r‑인자 근접 그래프의 새로운 접근

본 논문은 2차원 평면에서 세 개의 비공선점 Y={y₁,y₂,y₃}가 정의하는 삼각형 T(Y) 내부에 데이터‑랜덤 근접 잡음 다이그래프를 구성하고, 그 지배수( domination number ) γₙ의 확률적 특성을 체계적으로 분석한다. **1. 서론 및 기본 정의** 그래프 D=(V,A)에서 정점 v는 자신과 아웃고리(A)로 연결된 모든 정점을 지배한다. 최소 지배 집합 S*ₙ의 크기를 γ(D)라 정의한다. 데이터‑랜덤 근접 지도 N_Y(·)는 각 점 x∈Ω에 대해 Y와의 거리 기반 근접 영역 N_Y(x)⊂Ω를 만든다. Γ₁‑region은 “모든 점이 x의 근접 영역에 포함되는” 점들의 집합으로, γₙ=1 ⇔ Xₙ∩Γ₁(Xₙ)≠∅ 로 표현된다. **2. r‑인자 근접 지도 N_rY와 Γ₁‑region** 기존 구형·아크슬라이스 근접 지도는 Γ₁‑region의 형태가 복잡해 계산이 어려웠다. 저자들은 새로운 r‑인자 근접 지도 N_rY를 제안한다. 삼각형 T(Y)를 세 개의 정점 영역 R(y_i) 로 분할하고, x가 속한 정점 v(x)를 찾는다. x와 반대 변 e(v(x)) 사이에 평행한 선 ℓ(v(x),x)를 그리고, 그 거리 d(v(x),ℓ) 를 r배 확대한 선 ℓ_r을 만든다. ℓ_r와 반대 변이 이루는 삼각형 T_r(x)와 원 삼각형의 교집합이 N_rY(x)이다. r≥1이면 x∈N_rY(x)이며, r→∞이면 전체 삼각형이 된다. Γ₁‑region은 각 정점 y_j에 대해 ℓ_j와 평행한 ξ_j(x) 를 정의하고, 거리 조건 d(y_j,ℓ_j(z))≥d(y_j,ξ_j(x)) 를 만족하는 점들의 합집합으로 구성된다. **3. 무작위 가설과 기하학 불변성** H₀: X_i iid ∼ U(T(Y)) (삼각형 내 균등) 를 기본 가설로 설정한다. Theorem 1은 선형 변환(이동·회전·스케일·반사)을 이용해 임의의 삼각형을 표준 정삼각형으로 보정함으로써, γₙ(r)의 분포가 Y의 위치·형태에 독립임을 증명한다. 이는 이후 모든 확률 계산을 표준 삼각형에서 수행할 수 있게 한다. **4. Γ₁‑region 면적과 지배수의 점근적 거동** Proposition 1은 n→∞일 때 E