새로운 순열 배열 상한: 대규모 n·α 구간에서 기존 한계 초월

본 논문은 순열 배열(Permutation Array, PA)의 최대 크기 \(P(n,d)\) 에 대한 새로운 상한을 제시한다. 서론에서는 PA가 1970년대부터 연구되어 왔으며, 전력선 통신 등 실용적 응용이 최근에 부각되었음을 언급한다. 그러나 \(P(n,d)\) 의 정확한 값은 대부분 미지이며, 기존에는 하한과 상한만이 알려져 있다. **1. 기본 개념 및 기존 결과** - 순열군 \(S_n\) 위에 정의된 해밍 거리 \(d(x,y)\) 를 이용해 \((n,d)\) PA를 정의한다. - Deza‑Vanstone 상한 \(P(n,d)\le n!\,(d-1)!\) 와 구형 포장 상한 \(P(n,d)\le n!\,V(n,\lfloor(d-1)/2\rfloor)\) 가 가장 기본적인 기존 결과이다. - 또한, 재귀 부등식 \(P(n,d)\le n\,P(n-1,d)\) 을 이용해 더 강한 상한을 얻을 수 있지만, 이는 결국 위 두 상한보다 크게 개선되지 않는다. **2. 새로운 일반적 부등식** 정리 3에서 저자들은 임의의 부분집합 \(\Omega\subseteq S_n\) 에 대해 \