137소수 확장 이차 잔여 코드의 가중 분포 완전 해석

본 논문은 이진 확장 이차 잔여(Quadratic Residue, QR) 코드의 가중 분포를 구하는 문제에 대해, 특히 소수 p=137에 대해 완전한 해답을 제시한다. 서론에서는 가중 분포가 오류 검출·수정 능력을 평가하는 데 핵심적인 역할을 함을 강조하고, 전통적인 전수 방식이 지수적 복잡도를 갖는 한계를 지적한다. QR 코드는 p≡±1(mod 8)인 소수 길이를 갖는 순환 코드이며, p≡1(mod 8)인 경우 확장 코드 ˆQₚ는 형식적으로 자기‑대칭(formally self‑dual)인 단일 짝수 코드가 된다. 이러한 구조적 특성 때문에 Gleason 정리(단일 짝수 코드 버전)를 적용하면 가중 열거식이 K_j 라는 계수들의 다항식 형태로 표현될 수 있다(식 2, 5). 여기서 전체 분포를 복원하려면 j=0…m(=17)까지의 K_j, 즉 A_{2j} (0≤2j≤34) 가 필요하다. 다음으로 자동동형군 Aut(ˆQₚ)⊇PSL₂(p) 의 역할을 분석한다. PSL₂(137)의 차수는 |H|=2³·3·17·23·137=1 285 608이며, 이는 코드워드 집합을 두 종류의 궤도로 나눈다. 첫 번째는 H의 어떤 원소에 고정되는 코드워드 수 A_{2j}(H), 두 번째는 전체 궤도에 속하는 코드워드 수 n_j·|H|이다. A_{2j}(H)는 Sylow‑q 부분군들의 고정점 수를 구해 중국 나머지 정리(CRT)로 합성함으로써 모듈러 정보를 얻는다. 특히 2‑Sylow 부분군은 이항군이며, 식 (4) 로부터 A_{2j}(S₂)≡5A_{2j}(H₂)−2A_{2j}(G₀₄)−2A_{2j}(G₁₄) (mod 2ˢ) 를 도출한다. 여기서 H₂, G₀₄, G₁₄ 은 각각 차수 2와 4인 부분군이다. 표 1에서는 H₂, G₀₄, G₁₄, 그리고 3, 17, 23 차수의 Sylow 부분군에 대해 고정되는 서브코드들의 차원(k)과 해당 서브코드 내에서의 A_{2j} 값을 정리한다. 이를 통해 A_{2j}(S₂) 의 합동값을 구하고, CRT와 결합해 일반식 A_{2j}=n_{2j}·1 285 608 + c_{2j} (식 6) 를 얻는다. c_{2j}는 고정점에 의해 결정된 상수이며, n_{2j}는 아직 미지의 비음수 정수이다. 다음 단계에서는 실제 전산 실험을 수행한다. 확장 QR 코드의 반률 생성 행렬 G를 두 개의 전치 행렬 G₁=