예측가능 대수 집합 이론과 실현 가능성 모델의 통합

본 논문은 ‘예측가능 대수 집합 이론(Predicative Algebraic Set Theory)’의 두 번째 연속 연구로, 앞선 논문에서 제시된 ‘예측가능 소규모 사상(predicative category with small maps)’이라는 범주론적 구조가 실현 가능성( realizability) 구성을 통해 닫혀 있음을 증명하고, 이를 통해 구성적 집합 이론인 CZF(Constructive Zermelo‑Fraenkel)와 IZF(Intuitionistic ZF)의 전통적인 실현 가능성 모델들을 일반적인 범주론적 틀 안에 재배치한다. 1. **배경 및 목표** - 첫 번째 논문에서는 예측가능 소규모 사상 (E, S)의 정의와, 이러한 구조가 작은 부분 객체(Ps) 함자에 대한 초기 대수(V, ∈)를 제공함으로써 직관주의적 집합 이론 모델을 자동으로 생성한다는 정리(정리 1.1)를 제시하였다. - 본 논문의 목표는 (E, S) 위에 내부 실현 가능성 토포스(Eff_E, S_E)를 구성하고, 이것이 다시 예측가능 소규모 사상 범주가 됨을 보이는 것이다. 이를 통해 Hyland‑Eff와 같은 기존 실현 가능성 토포스가 특수한 경우임을 확인하고, 다양한 실현 가능성 변형(예: 부분 가산 사상, Kleene‑Vesley 함수 실현 가능성 등)을 동일한 메커니즘으로 포괄한다. 2. **어셈블리 범주 Asm_E의 구축** - 객체는 (A, α) 형태이며, α⊆ℕ×A는 ‘실현자 관계’로, 모든 a∈A에 대해 적어도 하나의 n∈ℕ가 존재한다(전사성). - 사상 f:B→A는 내부 논리(HA 수준)에서 “실현자 r이 존재해 모든 b와 그 실현자 n에 대해 r(n) 정의되고 r(n)∈α(f(b))”라는 조건을 만족해야 한다. - Asm_E는 유한극한, 이미지, 하이젠 구조, 양성 구조 등을 모두 갖추며, 특히 전시 사상(display map)이라는 작은 사상 클래스를 정의할 수 있다. 3. **전시 사상의 정의와 성질** - 표준 전시 사상은 작은 사상 f:B→A와 작은 부분 객체 β⊆ℕ×B를 결합해 (B, β