레일리 페이딩 MIMO 채널에서 최적 입력 분포의 지원이 유계임을 증명하고 기존 복소해석 결과의 오류를 지적

본 논문은 레일리 평탄 페이딩 환경에서 코히어런스 시간이 T=1인 다중 안테나(MIMO) 시스템을 대상으로, 평균 전력 제약 하에 용량을 달성하는 입력 확률 측정의 지원이 유계임을 엄밀히 증명한다. 먼저, 채널 모델을 Yₘ=∑_{n=1}^N H_{mn}X_n+Zₘ 로 정의하고, H는 복소 원형 대칭 가우시안 행렬, Z는 i.i.d. 복소 가우시안 잡음으로 가정한다. 입력 공간을 M(N×1,ℂ)≅ℂ^N 로 두고, 평균 전력 제약을 Z(g(x)−a)dµ(x)≤0 (g(x)=‖x‖²) 로 표현한다. 이때, 확률 측정 집합 𝒢_{g,a}(X) 은 약한* 위상에서 콤팩트하고, 상호 정보량 I(µ;W) 는 약한* 연속이므로 최대값을 갖는다. Theorem 2.1에 따라 I는 𝒢_{g,a}(X) 위에서 유일한(동등성에 대해) 최적 µ₀ 를 가진다. 다음 섹션에서는 지원이 유계임을 보이기 위해 두 개의 보조 정리를 제시한다. Lemma 3.1은 구간 B(r₁,r₂)={x: r₁≤‖x‖²≤r₂} 에서 µ(B)>0 일 때, p(y|x)·log f_µ(y) 의 적분 하한을 구해 KKT 식에 삽입할 수 있는 형태로 만든다. Lemma 3.2는 라그랑지 승수 γ(a)>0이면 지원이 유계임을 증명한다. 증명은 지원이 무한히 크다고 가정하고, B(r₁,r₂) 를 적절히 선택해 식 (27)–(28) 에서 무한대와 모순을 일으키는 방식이다. 그 후, γ(a)>0임을 보이기 위해 Lemma 3.3에서 Fano 부등식을 이용한다. 임의의 정수 n에 대해 서로 다른 입력 벡터 {x_i}와 대응하는 출력 집합 {B_i} 를 구성한다. 각 B_i 에 대해 ∫_{B_i}p(y|x_i)dy≥λ>0 를 만족하도록 K를 충분히 크게 잡는다. 이렇게 하면 µ_n=1/n∑δ_{x_i} 의 상호 정보량이 λ·log n−1 로 n→∞ 일 때 무한히 커짐을 보이며, 이는 γ(a)=0이면 용량이 일정하게 머무는 것과 모순된다. 따라서 모든 a>0 에 대해 γ(a)>0임을 확정한다. 이 두 레마를 결합하면 Theorem 3.4 가 성립한다: 레일리 MIMO 채널(4) 에서 용량을 달성하는 입력 측정의 지원은 유계이다. 섹션 IV에서는 기존 연구들이 다변수 복소함수의 동일성 정리를 부적절하게 적용한 사례를 제시한다. 예시로 f(z)=z₂ (z∈ℂ²) 를 들며, 영집합 N(f)=ℂ·e₁ 은 ℝ²에서는 열린 집합이지만 ℂ²에서는 폐집합이다. 따라서 “실수 차원에서 열린 집합에 대해 동일성 정리를 적용한다”는 가정은 성립하지 않으며, 이로 인해