비원시 치환에 대한 코브함 정리 일반화

본 논문은 “Cobham 정리”라는 고전적인 결과를 비원시·비정상 길이 치환까지 일반화하는 것을 목표로 한다. 서론에서는 p‑와 q‑인식 가능 집합 E⊂ℕ에 대한 Cobham 정리의 전통적 서술을 소개하고, 이를 치환 언어와 연결시켜 “α‑치환(sequence)”이라는 새로운 개념을 정의한다. 여기서 α는 해당 치환 행렬의 지배 고유값이며, 퍼론 수일 때만 의미가 있다. 다음으로, 치환 σ와 그 고정점 x에 대해 성장 유형(growth type) (d, θ)를 도입한다. Lemma 3은 알파벳 A를 고유 성장 유형에 따라 분할하고, 각 문자 a∈A에 대해 |σⁿ(a)|가 θ(a)ⁿ·n^{d(a)} 형태로 성장함을 보인다. 이를 통해 최대 성장 집합 A_max와 지배 고유값 Θ를 정의한다. Lemma 4와 5는 모든 문자에 대해 θ(a)>1임을 보이며, 단어 u의 길이 성장 비율이 λ_σ(u)·n·D·Θⁿ 형태로 수렴함을 증명한다. Lemma 6은 x 안에 무한히 많이 등장하는 문자 a에 대해, 특정 정수 p와 단어 u, v, w를 찾아 σ^{pn}(u)·σ^{p(n‑1)}(v)…·v·w 가 x의 접두어가 되도록 구성한다. 이는 이후 증명에서 “문자들의 등장 간격이 유계(syndetic)”임을 보이기 위한 핵심 구조이다. Section 3에서는 “주기적 ⇒ α‑치환”을 증명한다. 주기열 x를 길이 p의 주기 v와 초기 접두어 u로 분해하고, 임의의 퍼론 수 α에 대한 원시 치환 σ를 선택한다. 알파벳 D={(b,i)}와 사상 ψ, τ를 정의해 τ가 σ와 동형이면서 길이 p·|σ(b)|을 유지하도록 만든다. 이후 φ:D→A를 통해 φ(z)=x가 되도록 하여, x가 α‑치환임을 보인다. Section 4는 곱셈적으로 독립인 퍼론 수 α, β에 대해 집합 {n αⁿ / m βᵐ : n,m∈ℤ} 가 ℝ⁺에 조밀함을 증명한다. 기존 문헌에서는 αⁿ/βᵐ 형태만 다루었으나, 여기서는 추가적인 정수 계수 d, e를 포함한 일반화된 형태를 다루어, 비원시 치환에서도 동일한 밀도 성질을 확보한다. Section 5에서는 Lemma 7을 이용해, α‑와 β‑치환 모두에 속하는 문자열 x가 “syndetic”임을 보인다. 즉, x의 각 문자와 각 단어가 유한한 상한 간격으로 반복된다. 이는 곧 x의 언어 L(x)가 유한 상태 자동기에 의해 인식될 수 있음을 의미한다. Section 6에서는 S_good이라는 치환 클래스(원시·비원시, 일정·비일정 길이 포함)를 정의하고, 반환 단어(return words) 개념을 도입한다. 반환 단어들의 길이와 등장 빈도는 앞서 증명된 syndetic 성질에 의해 유한 개의 유형으로 제한된다. 이를 통해 x가 결국 유한 개의 반환 단어들의 반복으로 표현될 수 있음을 보이며, 따라서 x는 궁극적으로 주기적임을 결론짓는다. 마지막으로, 논문은 기존 연구와의 연관성을 정리한다. Cobham 정리의 원시 치환 버전(