스투르미안 소거를 가진 단어와 그 변환자들의 무한 생성 구조

본 논문은 스투르미안 단어의 핵심 특성인 최소 복잡도와 기하학적 해석을 3문자 알파벳 A₃={0,1,2}에 확장한다. 정의 3에 따라, 무한 단어 x∈A₃^ℕ가 “스투르미안 소거 단어”(WSE)라면, 각 문자 a를 전부 삭제한 π_a(x)가 스투르미안 단어가 된다. 이는 2차원 정사각형에서의 빌리어드 궤적을 코딩한 전통적 스투르미안 모델을 3차원 큐브로 일반화한 것으로, 물리적 직관을 제공한다. 예시 1에서는 피보나치(피보나치) 단어 F를 이용해 g(F)라는 구체적 WSE를 구성하고, g가 MSE에 속함을 확인한다. 다음으로, 모든 WSE를 보존하는 모프즘 f:A₃→A₃^*의 집합을 MSE라 정의한다. MSE는 합성에 대해 닫힌 모노이드이며, 주요 정리(Theorem 1)는 세 가지 핵심 결과를 제시한다. (1) MSE는 유한 생성이 불가능하다. (2) MSE는 MSE_ε(어떤 문자 i에 대해 f(i)=ε인 변환들의 집합)와 A₃의 전치(permute)들의 합집합이다. (3) f가 “지역적 스투르미안” 성질을 가지고, 즉 어떤 i에 대해 f(i)=ε이면 f∈MSE_ε가 된다. 여기서 “지역적 스투르미안”은 존재하는 하나의 WSE x에 대해 f(x)도 WSE가 되는 약한 조건이다. 정리 (3)의 증명은 Proposition 4를 통해 이루어진다. {0,1}→A₃^*인 변환 f가 하나의 스투르미안 단어를 WSE로 보낸다면, 모든 스투르미안 단어에 대해 동일하게 보존한다는 전이성을 보인다. 이를 위해 E라는 {0,1}→{0,1}^* 전치와 π_i∘f를 조합한 사상이 Sturmian morphism임을 이용하고, 기존 Sturmian morphism 군 St(ϕ, eϕ, E)의 완전성을 적용한다. 정리 (2)의 증명은 행렬식 분석에 기반한다. 각 변환 f에 대해 행렬 M_f를 정의하고, Sturmian 변환들의 행렬식이 ±1임을 이용한다(Lemma 5). π_i∘f의 행렬을 (u,v,w)로 표기하고, det(u,v)+det(u,w)+det(v,w)=±1이라는 관계를 도출한다. 이 식을 다양한 경우로 나누어 (i) 두 열이 0벡터가 되는 경우 → f∈MSE_ε, (ii) 세 열이 서로 다른 알파벳을 정확히 매핑하는 경우 → f는 전치가 된다. 전치군은 기본 전치 E₀,E₁,E₂로 생성된다. 섹션 4에서는 “프라임 변환”(prime morphism) 개념을 도입한다. 정의에 따라, MSE 내에서 f=g∘h라 할 때 g 또는 h가 단위(unit)인 경우만을 허용한다. Proposition 7은 특정 길이 조건과 전치·접두·접미 관계를 만족하면 f가 MSE_i에서 프라임임을 보인다. 이를 통해 무한히 많은 프라임 변환이 존재함을 확인하고, 결국 MSE가 유한 생성이 아님을 결론짓는다(Theorem 1 (1)). 마지막으로, 부록에서는 WSE의 복잡도 함수 P_x(n)=n+1을 유지함을 확인하고, 균형성(balanced)과 회문(palindrome) 구조가 3문자 알파벳에서도 유지되는 점을 논한다. 특히, 큐브 빌리어드와의 연관성을 통해 물리적 모델링과 조합론적 언어 이론 사이의 교차점을 제시한다. 전체적으로 논문은 스투르미안 이론을 고차원 알파벳으로 일반화하고, 그 변환군의 구조적 복잡성을 새롭게 조명함으로써 기존 Sturmian morphism 연구에 중요한 확장을 제공한다.