효과적인 상징 동역학과 무작위 점들의 통계적 행동 복잡도 및 엔트로피

본 논문은 “계산 가능한 동역학 시스템”이라는 프레임워크를 도입하여, 전통적인 측도 보존 변환과 심볼릭 다이내믹스 사이의 격차를 메우는 작업을 수행한다. 먼저, 저자는 부분 재귀 함수, 유한 객체에 대한 알고리즘, 실수와 메트릭 공간 위의 계산 가능성 개념을 정리하고, 이를 바탕으로 계산 가능한 메트릭 공간(CMS)과 계산 가능한 측도(CPS)를 정의한다. CMS는 가산한밀도 부분집합(ideal points)과 그들 사이 거리의 실수값이 모두 효과적으로 계산 가능한 구조이며, 이러한 구조 위에서 점의 계산 가능성은 빠른 수열을 통해 정의된다. 다음으로, 계산 가능한 파티션(computable partition)을 도입한다. 이는 r.e. 열린 집합들의 유한 합으로 구성된 파티션이며, 각 원소는 알고리즘적으로 식별 가능하다. 이러한 파티션을 이용해, 변환 T에 대한 심볼릭 코딩 ϕ_T,Π : X → Σ^ℕ을 정의한다. 여기서 Σ는 파티션 원소의 라벨 집합이며, ϕ_T,Π(x) 의 i번째 기호는 T^i(x) 가 속한 파티션 원소를 나타낸다. 이 코딩은 전통적인 심볼릭 다이내믹스에서 사용되는 마크로스코프를 알고리즘적으로 구현한 것으로, 무작위 점을 무한 문자열로 변환한다는 점에서 핵심적인 역할을 한다. 그 후, 마틴‑로프 무작위성(Martin‑Löf randomness)을 메트릭 공간에 일반화한다. 기존에는 무한 이진 문자열에 정의되던 무작위성 개념을, 계산 가능한 측도 μ 위에서 μ‑무작위 점으로 확장한다. μ‑무작위 점은 모든 효과적인 μ‑측도 검정(test)에서 통과하는 점으로, 이는 모든 μ‑효과적 열린 집합의 μ‑측도가 0인 경우에 해당 집합에 속하지 않음을 의미한다. 주요 결과는 두 가지 통계적 정리이다. 첫째, μ‑무작위 점은 모든 μ‑보존 변환 T에 대해 Poincaré 재귀성을 만족한다. 즉, 임의의 r.e. 열린 집합 U에 대해, x∈U이면 무한히 많은 n에 대해 T^n(x)∈U가 된다. 둘째, Birkhoff 평균 정리의 점별 버전이 무작위 점에 대해 성립한다. 연속이고 유계인 실함수 f에 대해, μ‑무작위 점 x는 \