주사위와 정수 분할의 일반법

오일러는 “정수 N을 n개의 주사위(또는 지정된 종류의 부품)로 만들 수 있는 경우의 수”라는 질문을 출발점으로 삼는다. 그는 먼저 주사위 한 개의 가능한 결과를 다항식 \(f(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}\) 로 나타낸다(일반화하면 \(x+x^{2}+…+x^{m}\)). n개의 주사위를 동시에 던지는 경우는 이 다항식의 n제곱, 즉 \(V(x)=f(x)^{n}\) 의 전개와 동일하다. 전개식에서 각 항은 형태 \(M x^{N}\) 로 나타나며, 계수 \(M\) 은 N을 n개의 면값(순서 구분)으로 합칠 수 있는 경우의 수를 의미한다. 제2절에서 오일러는 이 사실을 이용해 “주사위 던지기” 문제를 “정수 분할” 문제로 변환한다. 그는 특히 “각 부품이 1 ~ m 중 하나”라는 제약을 두고, 부품의 종류와 개수가 모두 주어졌을 때의 경우를 다루고자 한다. 제3절에서는 일반적인 m면 주사위에 대해 같은 논리를 적용한다. 여기서 그는 주사위가 서로 구별될 수도, 구별되지 않을 수도 있다는 두 경우를 모두 고려한다. 제4절과 5절에서는 생성함수의 전개를 직접 수행하지 않고, 로그 미분을 이용해 계수 사이의 관계를 도출한다. 그는 \(V(x)=x^{n}(1+x+…+x^{m-1})^{n}\) 로 쓰고, 양변을 로그 미분하면 \