펜로즈 타일링에서 만든 점집합은 정수 격자와 양립적 거리 보존

본 논문은 “Penrose 타일링에서 만든 네트가 ℤ²와 bi‑Lipschitz 동형이다”는 질문에 대한 정확한 답을 제시한다. 먼저, 분리된 네트(separated net, Delone set)의 정의를 제시한다. 이는 두 상수 c₁, c₂ > 0에 대해 서로 다른 점 사이 거리가 최소 c₁을 넘고, 평면의 모든 점이 거리 c₂ 이내에 네트의 한 점을 포함하도록 하는 이산 집합이다. Penrose 타일링 τ₁은 kite와 dart 두 종류의 타일로 이루어지며, 변의 길이는 1과 φ(= (1+√5)/2)이다. 저자는 각 타일에 하나의 점을 배치해 네트 Y를 만든다. 타일의 직경이 유한하므로, 점을 배치하는 방식에 따라 서로 다른 네트가 생길 수 있지만, 모든 경우가 동일한 bi‑Lipschitz 동형 클래스에 속한다는 점을 강조한다. 핵심 기술은 타일의 “deflation”(축소) 연산을 반복하면서 half‑kite와 half‑dart의 개수 비율이 φ에 수렴한다는 사실이다. 구체적으로, A라는 고정된 영역에 포함된 half‑kite와 half‑dart의 개수를 각각 Kₙ, Dₙ이라 두고, n번째 deflation 후의 개수는 Kₙ₊₁ = 2Kₙ + Dₙ, Dₙ₊₁ = Kₙ + Dₙ 이라는 재귀식을 만족한다. 비율 xₙ = Kₙ/Dₙ 를 도입하면 xₙ₊₁ = f(xₙ) = (2xₙ+1)/(xₙ+1) 가 된다. 함수 f는