디 시퀀스의 무작위성 평가와 암호·스프레드스펙트럼 활용 가능성

본 논문은 ‘d-시퀀스(Decimal sequence)’라 불리는, 임의의 진법 r 에서 유리수 m/n 을 소수점 이하로 전개한 디지털 시퀀스의 무작위성을 평가한다. 연구 동기는 이러한 시퀀스가 암호화, 워터마킹, 스프레드 스펙트럼 통신 등에서 난수원으로 활용될 수 있는 가능성을 검증하는 데 있다. 먼저 무작위성 측정 방법으로 카크(Kak)가 제안한 자기상관 기반 지표 R(x)를 도입한다. 정의에 따르면, 시퀀스 x 의 자기상관값 C(k) ( k = 1…n‑1 )를 평균한 뒤 1 에서 뺀 값이 R 이며, 백색 잡음(완전 무작위)에서는 R = 1, 상수 시퀀스에서는 R = 0이 된다. 이 지표는 직관적 기대와 일치하고, 최대 길이 선형 피드백 시프트 레지스터(LFSR) 시퀀스에도 거의 1에 근접하는 값을 보인다. 다음으로 d-시퀀스의 기본 특성을 정리한다. 1/q ( q 는 소수) 형태의 최대 길이 d-시퀀스는 q‑1 주기를 가지며, 2 가 q 의 원시근일 때 a(i)=2^i mod q mod 2 공식으로 생성된다. 이 경우 시퀀스의 전반부와 후반부는 서로 보수 관계에 있어, 자기상관이 거의 0에 가깝다. 또한, 모든 최대 길이 시퀀스는 d-시퀀스의 특수한 경우이며, 일반적인 PN(프리시드) 시퀀스도 적절한 m/n 표현을 통해 d-시퀀스로 변환 가능함을 수식적으로 증명한다. 실험은 두 단계로 진행된다. 첫 번째는 홀수 n < 30 000 에 대해 일반 d-시퀀스 1/n 의 R값을 계산한다. 여기서 n = 2^k − 1 형태(예: 3, 7, 15…)일 경우 시퀀스는 ‘0…01’ 형태로 거의 정형화되어 R 값이 최소에 도달한다. 두 번째는 소수 q < 63 180 에 대해 최대 길이와 비최대 길이 d-시퀀스의 R값을 비교한다. 결과는 다음과 같다. - q ≈ 4000 이상에서 최대 길이 d-시퀀스의 R 값이 급격히 1에 근접한다. 이는 자기상관이 거의 사라져 백색 잡음과 유사한 무작위성을 제공한다는 의미이다. - Mersenne 소수 8191 과 같이 최대 길이가 아닌 경우 R 값이 현저히 낮아, 무작위성 측정이 시퀀스 구조의 규칙성을 정확히 포착함을 확인한다. - 반절(절반 길이) 시퀀스에 대해서도 동일한 경향이 나타나, 절반만 사용해도 높은 R 값을 유지한다는 점은 메모리 절감 및 효율적인 키 스트림 생성에 유리함을 시사한다. 논문의 주요 기여는 다음과 같다. 첫째, 카크의 R 지표를 활용해 d-시퀀스의 무작위성을 정량적으로 평가함으로써, 기존에 주기 제한이 있었던 LFSR 시퀀스와 비교해 더 넓은 범위의 주기를 제공한다는 점을 실험적으로 입증했다. 둘째, d-시퀀스가 최대 길이일 때 R 값이 1에 가깝다는 결과는 암호키 스트림, 워터마크 시그니처, 스프레드 스펙트럼 코드 등 다양한 응용 분야에서 안전한 난수원으로 활용될 수 있음을 뒷받침한다. 셋째, 절반 길이 시퀀스에서도 높은 무작위성을 유지한다는 점은 실제 시스템 설계 시 메모리·연산 비용을 절감할 수 있는 실용적 이점을 제공한다. 하지만 논문에는 몇 가지 한계도 존재한다. R 지표는 자기상관 평균만을 고려하므로, 고차 통계(예: 압축률, Kolmogorov 복잡도)와는 별개이며, 다중 평가 지표와 결합한 종합적인 무작위성 검증이 필요하다. 또한 실험에 사용된 소수 범위가 ~ 6 × 10^4 에 머물러 있어, 더 큰 소수(예: 10^9 이상의 소수)에서의 행동을 추정하기 어렵다. 마지막으로 d-시퀀스 생성 알고리즘이 단순하지만, 실제 암호 시스템에 적용할 때는 초기값·키 관리·공격 저항성 등을 추가로 검증해야 한다. 결론적으로, 본 연구는 d-시퀀스가 높은 무작위성을 제공한다는 근거를 제시함으로써, 기존 난수 생성 방식에 대한 유망한 대안임을 강조한다. 향후 연구에서는 R 외에 NIST SP 800‑22, Diehard 등 표준 무작위성 테스트와 결합하고, 대규모 소수에 대한 실험을 확대함으로써 보안 강도를 종합적으로 평가할 필요가 있다.