정규직교다항식의 이산 엔트로피와 체비쉐프 다항식의 수론적 연결

논문은 먼저 실수축적 측도 µ 에 대해 정규직교다항식 pₙ(λ) 을 정의하고, 그 영점 λⱼ^{(n)} 을 이용해 확률벡터 Ψⱼ 을 만든다. Ψ_{ij}² 는 p_{i-1}²(λⱼ^{(n)}) 을 전체 제곱합 ℓₙ(λⱼ^{(n)}) = ∑_{k=0}^{n-1}p_k²(λⱼ^{(n)}) 으로 정규화한 값이다. 이 정의는 Jacobi 행렬 Lₙ 의 고유벡터와 직접 연결되며, Ψ 행렬이 직교함을 보인다. 따라서 각 열은 확률분포이며, 이산 샤논 엔트로피 S_{n,j}=−∑_{i=1}^{n}Ψ_{ij}² log Ψ_{ij}² 를 정의한다. 연속 엔트로피 Bₙ 와 상대 엔트로피 Kₙ 과 달리 S_{n,j} 는 가중치 µ′ 에 의존하지 않으며, 순수히 다항식의 구조에 의해 결정된다. 일반적인 경우 S_{n,j} 의 정확한 계산은 어려우나, 체비쉐프 다항식에 대해서는 명시적 식을 얻는다. 1. 체비쉐프 1종 Tₘ(λ)=cos(mθ) (λ=cosθ) 에 대해, 정규화된 다항식은 pₘ(λ)=√2 cos(mθ) (m≥1) 이며, 가중치는 w(λ)=1/(π√{1−λ²}) 이다. 저자는 R(x)=x