그래프 동형성은 PSPACE 완전이다

본 논문은 “그래프 동형성은 PSPACE‑complete이다”라는 강력한 주장을 제시한다. 저자는 두 개의 선행 연구, 즉 Meyer와 Stockmeyer가 발표한 정규식 동등성 문제의 복잡도 결과와 Booth이 제시한 그래프와 유한 자동자 사이의 다항식 동등성 결과를 결합함으로써 GI가 PSPACE‑complete임을 증명한다고 주장한다. 먼저, Meyer·Stockmeyer(1972)의 논문은 정규식에 제곱 연산(squaring)을 허용했을 때 동등성 판단이 지수적 공간을 필요로 한다는 것을 보여준다. 이는 해당 변형된 정규식 동등성 문제가 PSPACE‑hard임을 시사한다. 그러나 원 논문 자체는 이 문제를 PSPACE‑complete라고 증명하지 않으며, 오히려 특정 연산이 추가된 경우에만 복잡도가 급격히 상승한다는 점을 강조한다. 일반적인 정규식 동등성 문제는 PSPACE에 속하지만 완전성은 아직 확정되지 않았다. 다음으로 Booth(1978)은 유한 자동자(isomorphism of finite automata)와 그래프 동형성 사이에 다항식 시간 환원 관계가 있음을 증명한다. 구체적으로, 임의의 유한 자동자를 그래프 형태로 변환하면 자동자 동형성 문제와 그래프 동형성 문제가 서로 다항식 시간 안에 변환 가능함을 보였다. 이는 두 문제의 복잡도 클래스가 동일할 가능성을 제시하지만, 자동자 동형성 자체가 PSPACE‑hard라는 증거는 제공하지 않는다. 현재까지 자동자 동형성은 NP에 속하고, 아직 PSPACE‑hard임이 입증된 바가 없다. 논문은 이 두 결과를 “정규식 동등성 문제는 PSPACE‑hard이고, 자동자 동형성은 그래프 동형성과 동등하므로, 그래프 동형성도 PSPACE‑hard이다”라는 논리 흐름으로 연결한다. 그러나 이 연결 고리는 몇 가지 중요한 점을 간과한다. 첫째, 정규식 동등성 문제와 자동자 동형성 문제 사이에 직접적인 환원 관계가 존재하지 않는다. 정규식과 자동자는 언어 인식 능력 면에서 동등하지만, 구조적 복잡도와 입력 표현 방식이 크게 다르다. 둘째, Booth의 결과는 다항식 시간 환원을 보장하지만, 공간 복잡도(특히 PSPACE) 보존에 대한 논의는 전혀 없으며, PSPACE‑hard성을 전이시키려면 공간 보존 환원이 필요하다. 또한 논문은 정규식, 오른쪽 선형 문법, 유한 자동자 사이의 알려진 등가성을 인용한다. 이 등가성은 언어 이론적 관점에서의 동등성을 의미하며, 복잡도 클래스 간의 포함 관계를 직접적으로 연결하지 않는다. 즉, 정규식 동등성의 PSPACE‑hard성을 자동자 동형성에 그대로 적용할 수 있는 근거가 부족하다. 참고문헌에서도 오류가 발견된다.