검증된 실수 연산을 위한 구간 산술 라이브러리

**1. 서론** 전통적인 테스트와 시뮬레이션만으로는 항공·우주 등 안전-critical 시스템의 정확성을 보장하기 어렵다. 특히, 실수와 초월 함수가 포함된 수치 계산은 정리 도우미에서 형식 검증이 거의 이루어지지 않는다. 저자들은 이러한 문제를 해결하기 위해 PVS 기반의 구간 산술 라이브러리를 설계·검증하였다. 목표는 “인간의 수동 개입을 최소화하고, 자동화된 수치 증명을 제공하는 것”이다. **2. 초월 함수에 대한 상·하한** 각 함수 f에 대해 두 개의 근사 함수 f_low(n,·)와 f_up(n,·)를 정의한다. n은 근사 차수를 의미한다. - **제곱근**: 뉴턴 반복을 사용해 `sqrt(x,n)`을 정의하고, `sqrt_low ≤ √x ≤ sqrt_up`을 증명. - **삼각함수**: sin·cos은 짝·홀수 차수 테일러 급수를 이용해 하한·상한을 만든다. - **아크탄젠트와 π**: 0≤x≤1 구간에서 교대 급수를 사용하고, Machin 항등식으로 π를 근사한다. - **지수함수**: 무한 급수 `exp(x)=∑ x^i/i!`를 기반으로 하한·상한을 정의하고, 부호에 따라 대칭성을 이용한다. - **자연로그**: `ln(1+x)`의 교대 급수를 이용하고, 2의 거듭제곱 분해를 통해 전체 양의 실수에 대한 근사를 확장한다. 각 정의는 PVS 이론으로 형식화되고, 정리 1~8을 통해 하한·상한이 실제 함수 값을 포괄함을 증명하였다. **3. 구간 산술** 구간 `