하일스 순서 하이퍼큐브의 재귀 구조와 대역폭
이 논문은 n차원 하이퍼큐브를 하일스 순서(Hales ordering)로 번호 매겼을 때 나타나는 재귀적 행렬 구조를 이용해, 잘 알려진 하이퍼큐브 대역폭 공식 \(bw(Q_n)=\sum_{m=0}^{n-1}\binom{m}{\lfloor m/2\rfloor}\) 을 간단히 증명한다. 또한, 하이퍼큐브의 반대 개념인 antibandwidth 문제에 대해 하일스 순서를 변형한 새로운 정렬을 제시하고, 닫힌 형태의 해 \(f(Q_n)=2^{n-1}…
저자: Xiaohan Wang, Xiaolin Wu
본 논문은 n차원 하이퍼큐브 \(Q_n\) 에 대한 두 가지 주요 정점 번호 매김 문제, 즉 대역폭(bandwidth) 최소화와 antibandwidth(반대 대역폭) 최대화를 다룬다. 먼저, 저자는 하일스 순서(Hales ordering)라는 정점 번호 매김 방식을 정의한다. 이 순서는 정점의 해밍 무게(0‑1 문자열에서 1의 개수)를 기준으로 오름차순 정렬하고, 동일 무게 내에서는 오른쪽‑좌측 좌표의 사전식 역순으로 정한다. 하일스 순서는 이미 Harper가 최소 대역폭을 달성한다는 정리(정리 5)를 통해 알려져 있다.
논문의 핵심은 하일스 순서에 따라 정렬된 정점들을 해밍 무게별 블록 \(A(n)_k\) (크기 \(\binom{n}{k}\)) 로 나누고, 각 블록을 재귀적으로 구성하는 행렬 \(S(n)\) 을 도입하는 것이다. 구체적으로,
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