특성 3에서 영구함수의 다항시간 계산 주장과 그 한계

** 이 논문은 “특성 3인 유한체 GF(3^q)에서 영구(permanent)를 다항시간에 계산할 수 있다”는 주장을 전개한다. 서론에서는 영구가 일반적으로 #P‑완전이며, 특성 2에서는 행렬식과 동일해 다항시간에 계산 가능하다는 점을 언급하고, 특성 3에서는 새로운 대수적 구조를 이용해 문제를 해결할 수 있다고 제시한다. 본론에서는 먼저 기본 기호와 정의를 제시한다. m×n 행렬의 Hadamard 곱, 벡터 차수, 부분 행렬 표기 등을 정의하지만, 기호가 중복되고 일부는 전혀 정의되지 않는다. 이어서 Cauchy 행렬과 Vandermonde 행렬을 확장한 ‘확장‑Cauchy’, ‘확장‑Vandermonde’ 개념을 도입하고, 이들 행렬의 판별식과 영구 사이의 관계를 전개한다. 특히 판별식 함수와 ‘확장‑판별식’(discriminantal)이라는 새로운 함수를 정의하고, 이를 이용해 영구를 표현하려 한다. 다음으로 Binet‑Minc 정리를 특성 3에 맞게 변형한다. 기존 Binet‑Minc 식은 파티션 집합을 이용해 영구를 전개하는데, 논문은 파티션의 크기를 3 이하로 제한하고, 각 파티션에 대해 계수를 ±1로 고정한다. 그러나 이 과정에서 3으로 나눈 나머지를 무시하거나, 부호를 임의로 바꾸는 등 수학적 오류가 발생한다. 그 후 Borchardt 공식과 일반화된 ‘공동‑영구(coper)’ 개념을 도입한다. 두 행렬 A, B에 대해 공통 영구를 정의하고, 이를 행렬식과 연결시키는 식을 제시한다. 여기서도 특성 3에서 성립하는 추가 조건을 명시하지 않고 식을 그대로 적용한다. 핵심 기법은 ‘극한 재정의’를 통해 무한 확장을 사용한다는 것이다. 저자는 유한체 위에서도 무한히 큰 확장을 고려하고, 변수 ε에 대한 극한을 취함으로써 영구를 계산한다는 논리를 전개한다. 그러나 유한체에서는 무한 확장이 존재하지 않으며, ε에 대한 극한 연산 자체가 정의되지 않는다. 또한 극한을 이용한 계산 단계가 구체적으로 제시되지 않아 알고리즘 구현이 불가능하다. 논문은 여러 보조 정리(Lemma)와 정리(Theorem)를 제시한다. Lemma 1·2·3은 행렬식과 영구 사이의 관계를 다루지만, 증명 과정에서 특성 3에 특화된 조건을 무시하고 일반적인 경우와 동일하게 취급한다. Theorem I~V는 영구를 특정 다항식의 계수로 표현하고, 이를 통해 다항시간에 계산 가능하다고 주장한다. 그러나 각 정리의 증명은 정의되지 않은 ‘확장‑특이점’, ‘E‑합’, ‘파동‑함수’ 등을 전제하고 있으며, 이러한 개념은 기존 문헌에 존재하지 않는다. 마지막으로 논문은 “특성 3에서 영구를 다항시간에 계산할 수 있으면 비균일 P=NP가 된다”는 결론을 내린다. 이는 기존 복잡도 이론과 직접 모순된다. 영구 문제는 특성 3에서도 #P‑완전이며, 이를 다항시간에 해결한다면 P=NP가 되는 것이 맞지만, 논문이 제시한 알고리즘은 실질적인 구현 가능성이 없으므로 이 결론은 근거가 부족하다. 전체적으로 이 논문은 새로운 대수적 기법을 시도한다는 점에서 흥미로울 수 있으나, 정의의 불명확성, 기존 이론과의 모순, 증명상의 논리적 비약 등으로 인해 제시된 다항시간 알고리즘은 실질적으로 존재하지 않는다. 따라서 현재의 복잡도 이론 관점에서 이 논문의 주장은 받아들일 수 없으며, 추가적인 엄밀한 검증과 명확한 정의가 필요하다. **