이차 부등식으로 정의된 반대수적 가족의 안정 동형 유형 수 제한

1. 서론 및 배경 반대수기 집합 \(S\subset\mathbb{R}^{\ell+k}\)와 투사 \(\pi:\mathbb{R}^{\ell+k}\to\mathbb{R}^{k}\)에 대해, 각 매개변수 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{k}\)에 대한 섬유 \(S_{\mathbf{x}}=\pi^{-1}(\mathbf{x})\cap S\)의 위상적 종류를 파악하는 문제는 Hardt의 정리에서 출발한다. Hardt 정리는 매개변수 공간을 유한 개의 반대수기 셀로 분할하여 각 셀 안에서 섬유가 반대수기 동형을 가진다고 보장하지만, 그 셀의 개수는 \(\ell\)와 \(k\)에 대해 이중 지수적 상한만 알려져 있다. 2. 기존 연구와 한계 Basu‑Roy‑Vorobjov(2010) 등은 일반 차수 \(d\)의 다항식으로 정의된 반대수기 집합에 대해 섬유들의 호모토피 유형 수가 \((2^{\ell}mkd)^{O(k\ell)}\) 로 제한된다고 보였으며, 이는 \(\ell\)에 대해 역시 지수적 의존성을 가진다. 반면, 이차 부등식(\(\deg_{Y}P_i\le 2\))만을 허용하면 베티 수가 \((m\ell)^{O(m)}\) 수준으로 다항식적으로 제한된다는 Barvinok의 결과가 있다. 따라서 이차 부등식 클래스에서는 위상적 복잡도가 크게 낮아질 가능성이 있다. 3. 주요 결과 본 논문은 다음 정리를 증명한다. **정리 2.1**: 실폐장 \(\mathbb{R}\) 위에 \(\mathcal{P}=\{P_1,\dots,P_m\}\subset\mathbb{R}