복소 버스만‑페티 문제: 차원에 따른 해답의 전환

논문은 먼저 고전적인 버스만‑페티 문제를 소개하고, 그 해결 과정이 1956년 제안 이후 1990년대 말에 완성된 역사를 간략히 정리한다. 이어 복소 버전의 문제를 정의하는데, 복소 초평면 H_ξ={z∈ℂⁿ | ⟨z,ξ⟩=0} 를 실수 공간 ℝ²ⁿ 으로 옮기면 두 차원 낮은 직교 보조공간이 된다. 복소 볼록체는 원점 대칭이며 복소 스칼라 λ에 대해 ‖λz‖=|λ|‖z‖ 을 만족하는 노름 구이므로, 실수 차원에서는 모든 좌표쌍에 대해 동일한 각 θ 만큼 회전하는 R_θ‑불변성을 가진 볼록체와 일대일 대응한다(식 (1)). 문제는 “모든 복소 초평면 H_ξ에 대한 (2n‑2)‑차원 단면 부피가 L보다 작으면 전체 부피도 작다”는 명제로 바뀐다. 저자들은 이를 기존의 ‘하위 차원 버스만‑페티 문제’와 비교하면서, 복소 경우는 단면이 제한적이고 불변성 조건이 추가돼 더 어려운 상황임을 강조한다. 핵심 이론적 도구는 푸리에 변환을 이용한 ‘분포의 양정성’과 ‘k‑교차체’ 개념이다. 정의에 따라 k‑교차체는 어떤 측정 µ 가 존재해 ‖x‖_D^{‑k} 의 푸리에 변환이 양정 분포가 되는 경우이며, 이는 공간 (ℝⁿ,‖·‖_D) 가 L_{‑k} 에 임베드된 것과 동치이다(명제 2). 기존 결과에 따르면 모든 n‑차원 노름공간은 p∈