비정수 기반 칸토어 집합의 하우스도르프 차원과 측정

이 논문은 β-확장(β > 1)을 이용하여 정의된 일종의 칸토어형 집합인 숫자 삭제 집합 C_{β; θ0, ..., θq-1}의 프랙탈 성질을 체계적으로 연구합니다. 고전적인 칸토어 3분 집합은 β=3, 허용 숫자가 {0,2}인 특수한 경우에 해당합니다. 서론에서는 β-변환과 β-확장의 역사를 간략히 소개하고, Keane이 제기한 매개변수화된 칸토어 집합 Λ(λ)의 차원 연속성 문제와 그 후속 연구들을 언급합니다. Λ(λ)는 β = 1/λ일 때 C_{β;013}를 포함하지만 일반적으로 더 큽니다. 본 논문은 β-확장의 규칙에 따라 엄격히 정의된 C_{β; ...} 집합에 초점을 맞춥니다. 2절에서는 하우스도르프 차원과 측정, IFS, β-확장, 기호 동역학 시스템에 필요한 기본 개념과 정의를 복습합니다. β-확장에서 숫자 열이 유효(β-허용)하기 위해서는 렉시코그래픽 순서로 β-확장에서의 1의 표현보다 작아야 함을 상기시킵니다. 모든 β-허용 열의 클로저인 β-시프트 Σ_β를 정의합니다. 3절에서는 "β-어트랙터"라는 새로운 개념을 소개합니다. 주어진 IFS (X; f0, ..., fn-1)와 β ≤ n에 대해, IFS의 주소 공간을 전체 열 공간 Σ_n 대신 β-시프트 Σ_β로 제한하여 얻는 집합 E_β = φ(Σ_β)를 β-어트랙터로 정의합니다. Theorem 1은 모든 f_i가 동일한 축소 비율 r을 가지는 비슷합 변환이고, E_β 위에서 분리 조건(f_i(E_β) ∩ f_j(E_β) ∩ E_β = ∅, i≠j)이 성립할 때, E_β의 하우스도르프 차원이 s = log β / (-log r) 이며, s-차원 하우스도르프 측정이 유한하고 양수임을 증명합니다. 증명의 핵심은 β-허용 길이 k 단어의 수 |S_k^β|에 대한 Lemma 1(β^k ≤ |S_k^β| ≤ β^(k+1)/(β-1))을 이용한 상한 평가와, 분리 조건을 이용한 덮개 변환을 통한 하한 평가입니다. 4절에서는 본 논문의 주요 대상인 C_{β; θ0...θq-1} 집합을 직접 분석합니다. 이 집합은 β-어트랙터의 특별한 경우로 볼 수 있으며, 여기서 IFS는 f_θ(x) = (x+θ)/β 형태의 함수들로, 축소비는 모두 1/β입니다. Theorem 1의 분리 조건이 일반적으로 성립하지 않을 수 있지만, 논문은 직접적인 증명을 통해 동일한 결론을 도출합니다: 즉, C_{β; θ0...θq-1}의 하우스도르프 차원은 s = log α / log β 입니다. 여기서 α > 1는 집합의 구성 규칙을 결정하는 특정 상수로, 허용된 숫자 열의 "효과적인 개수"를 나타냅니다 (β-어트랙터 모델에서는 α가 β 역할을 합니다). 또한 이 s-차원 하우스도르프 측정은 유한하고 양수입니다. 더불어, 차원 함수 β → dim_H(C_{β; ...})가 β > θ_{q-1}에서 연속이며, 거의 모든 β에서 음의 도함수를 가짐을 보입니다. 그러나 르베그 측도 0인 어디에도 조밀하지 않은 집합 위에서는 도함수가 무한대가 될 수 있습니다. 5절에서는 β가 정수가 아닐 때 (예: 2 < β < 3), C_{β;02}가 일반적인 IFS의 어트랙터가 될 수 없는 이유를 설명합니다. 이는 T_β의 역함수가 구간에 따라 다르게 정의되기 때문입니다. 이를 해결하기 위해 "국소 IFS" 개념을 도입합니다. 국소 IFS는 함수의 정의역이 전체 공간