이진 코드 평균 거리 하한의 새로운 선형계획법 접근

1. 서론에서는 평균 해밍 거리 β(n, M)의 정의와 Ahlswede‑Katona가 제시한 문제 설정을 소개한다. 기존에 알려진 정확값은 M이 4, 8 등 작은 경우에만 존재하고, M이 2ⁿ에 비례할 때만 의미 있는 하한이 존재한다는 점을 강조한다. Lemma 1을 통해 β(n, 2ⁿ−M)와 β(n, M) 사이의 대칭 관계를 제시하고, 이를 통해 M≤2ⁿ−1만 고려하면 충분함을 보인다. 2. 선행 연구에서는 Jaeger 등(정확값), Althöfer‑Sillke(선형 상한), Xia‑Fu(홀수 M에 대한 개선), Fu‑et al.(다양한 경우에 대한 하한) 등을 정리한다. 특히 Theorem 2–4는 기존에 알려진 하한식들을 나열하고, 이들이 M≈2ⁿ⁄n 정도일 때만 유용함을 지적한다. 3. 2절에서는 Delsarte의 거리 분포와 Krawtchouk 다항식의 기본 성질을 정리한다. 거리 분포 {A_i}와 이중 분포 {B_k} 사이의 변환식 (2), (3)과 비음성 제약 B_k≥0를 제시한다. 또한 Krawtchouk 다항식의 직교성(5), 재귀식(8, 9), 대칭식(10, 11) 등을 정리한다. 4. 3절에서는 ‘큰 코드’(M≈2ⁿ·c) 구간에 대한 새로운 하한을 도출한다. Lemma 2에 의해 평균 거리와 B₁ 사이의 관계 d(C)=½(n−B₁)임을 이용, B₁에 대한 상한을 선형계획법으로 구한다. primal 문제는 B₁을 최대화하고, 제약은 (6)–(7)에서 유도된 총합식과 B_k≥−P_k(0)이다. 듀얼 문제를 해석하면 λ(x)라는 Krawtchouk 전개 다항식을 찾아 λ(1)=−1, λ(i)≤0(i∈I), λ_j≥0(j∈J) 조건을 만족하면 B₁≤λ(0)−2ⁿ·M·λ₀이 된다. Corollary 1을 통해 β≥½