컴팩트 폐쇄 범주 위의 매키와 그린 함수 이론

본 논문은 매키 함수(Mackey functor)를 현대의 풍부 범주(enriched category) 이론과 결합하여 보다 일반적인 구조적 틀을 제공한다. 첫 번째 단계에서는 렉스텐시브(lextensive) 범주 E를 가정하고, 그 위에 스팬 범주 Spn(E)를 정의한다. 객체는 E의 객체이며, 사상은 E에서의 스팬(두 사상 s₁:S→U, s₂:S→V 로 이루어진 다이어그램)의 동형류이다. 스팬의 합성은 풀백을 이용해 (s₁,s₂)와 (t₁,t₂) 사이의 공통 대상에서 구성되며, 이는 스팬의 동형류가 잘 정의됨을 보인다. Spn(E)는 카테고리적 곱을 텐서곱으로 삼아 모노이달 구조를 갖고, 또한 내부 호몰과 이중성(dual) 구조를 제공함으로써 콤팩트 폐쇄(compact closed) 범주가 된다. 특히, Spn(E)에서의 직접합은 E의 직접합과 일치하고, 영 객체는 초기·말단 객체가 된다. 이러한 성질 덕분에 Spn(E)는 커뮤터티브 모노이드(enriched in commutative monoids) 로 풍부화될 수 있다. 두 번째 단계에서는 Spn(E)‑모듈, 즉 k‑모듈값을 갖는 가법 함자들의 범주 Mky(E, Modₖ)를 고려한다. Day의 컨볼루션(convolution) 이론을 적용해 Mky는 대칭 모노이달이 된다. 텐서곱은 공엔리시드(coend) 공식을 이용해 (M⊗N)(Z)=∫^{X,Y} Spn(E)(X⊗Y,Z)⊗M(X)⊗ₖN(Y) 로 정의되며, 이는 전통적인 매키 함수들의 텐서곱과 일치한다. 내부 호몰은 Hom(M,N)(V)=Mky(M(V*⊗−),N) 로 주어져, Mky가 폐쇄 모노이달임을 확인한다. 이때 V*는 스팬 범주의 이중성(dual) 객체이다. 그린 함수(Green functor)는 Mky 안의 모노이드 객체로 정의된다. 구체적으로, A는 각 객체 U에 대해 k‑모듈 A(U)를 할당하고, 곱 구조 μ:A(U)⊗ₖA(V)→A(U⊗V)와 단위 η:k→A(1)를 만족한다. 이러한 구조는 전통적인 그린 함수가 갖는 전이와 제한 연산을 범주론적으로 포착한다. Burnside functor J는 각 U에 대해 자유 k‑모듈 k