유한 선형 순서와 전사 사상의 코스팬 2‑범주 보편적 성질

논문은 먼저 선형 순서와 전사 사상만을 포함하는 범주 sLin 을 소개한다. Lin 은 총 순서 집합 n={0,…,n‑1} 과 단조 함수로 이루어진 엄격한 모노이달 범주이며, (1,∇,!) 가 보편적 모노이드임을 알려준다. sLin 은 Lin 의 전사 사상 부분범주이며, (1,∇) 가 보편적 반군집(semi‑group) 구조를 제공한다. Lemma 2.1 은 sLin 이 모든 푸시아웃을 엄격하게 갖는다는 사실을 증명하고, Lemma 2.2 은 ‘+’ 연산이 푸시아웃과 교환한다는 사실을 확인한다. 다음으로, 푸시아웃을 가진 임의의 범주 C 에 대해 cospan(C) 를 정의한다. cospan(C) 의 1‑셀은 C 안의 코스팬(p₀:A→P←B:p₁)이며, 2‑셀은 푸시아웃 사각형 사이의 자연 변환으로 구성된다. 삽입 펑터 y와 z 가 각각 C 와 Cᵒᵖ 에서 cospan(C) 로 들어가며, 이들은 객체 수준에서 동일하고 푸시아웃을 보존한다는 의미에서 ‘호환(compatable)’한다(Lemma 3.2). 2‑셀까지 확장하기 위해 ‘호환 선택(selection) τ’ 를 도입한다. τ는 각 사상 f에 대해 id F X ⇒ (F₀ f);(F₁ f) 라는 2‑셀을 지정하고, 동등성, 합성, 푸시아웃 보존이라는 세 가지 규칙을 만족한다(Definition 4.1). Lemma 4.2‑4.4 를 통해 τ 가 y와 z 에 대해 호환됨을 보이고, Proposition 4.5 에서는 주어진 F₀, F₁ 와 τ 가 호환될 때 유일한 2‑펑터 F: cospan(C) → D 가 존재함을 증명한다. 이는 1‑셀 수준에서의 호환성뿐 아니라 2‑셀 수준에서도 완전한 구조 보존을 의미한다. 모노이달 구조를 추가하기 위해 C 가 엄격한 모노이달 (⊕,0) 을 갖고 푸시아웃과 ⊕ 가 상호작용한다는 가정을 둔다. Lemma 5.1 은 cospan(C) × cospan(C) 와 cospan(C×C) 사이의 2‑동형을 제공하고, Lemma 5.2 와 Proposition 5.3 은 ⊕ 가 cospan(C) 에서 역시 엄격한 모노이달 2‑펑터가 될 수 있음을 보인다. 특히, 푸시아웃과 ⊕ 가 교환될 때만 이러한 구조가 존재한다는 점이 핵심이다. 결과적으로 Corollary 5.4 로 (cospan(sLin),+,0) 가 엄격한 모노이달 2‑범주임을 확인한다. 마지막 섹션에서는 이러한 구조를 ‘분리 반대대수(separable semi‑algebra)’ 라는 2‑차원 대수적 개념과 연결한다. Definition 6.1 에서 bi‑semigroup (X,∇,Δ) 를 정의하고, ∇ 가 반군집, Δ 가 공반군집이며, ∇∘Δ = id_X 라는 분리 조건을 만족한다는 점을 강조한다. 앞서 구축한 보편적 성질은 바로 이 객체가 ‘보편적 분리 대수’임을 의미한다. 즉, (cospan(sLin),+,0) 은 반군집·공반군집 구조를 동시에 갖는 객체 X 를 포함하는 모든 엄격한 모노이달 2‑범주에 대해 유일한 강(strict) 모노이달 2‑펑터를 제공한다. 이는 기존 1‑차원 결과(Lack, Rosebrugh‑Sabadini‑Walters)의 2‑차원 일반화이며, 호환 2‑셀 선택과 푸시아웃‑⊕ 상호작용이라는 기술적 핵심을 통해 보편적 성질을 정확히 규정한다.